In dieser Folge widmen sich Franzi und Karl dem Feedback zu den letzten drei Geschichten im AstroGeo Podcast. Hörer berichten, wo sie AstroGeo gehört haben, etwa bei einer Fahrradtour durch Frankreich oder im Zug bei der Fahrt quer durch Europa.
In Folge 122 ging es um Seen tief unter dem Gletschereis der Antarktis und von Grönland, die künftig zum Problem werden könnten. Karl hatte erzählt, ob man einen rutschenden Gletscher trockenlegen könnte, indem man den darunterliegenden See abpumpt. Dazu gibt es eine korrigierte Zahl: Demnach wäre für die kritischsten Gletscherzungen „nur“ zehnmal mehr Flüssigkeit in Grönland und der Antarktis abzupumpen als heute an Erdöl an die Oberfläche gefördert wird (knapp 5 km³ Erdöl pro Jahr vs. 50 km³ Schmelzwasser pro Jahr). Darüber hinaus sprechen Franzi und Karl über den Hinweis, dass ein steigender Meeresspiegel heute noch das geringere Problem ist: Viele Städte sinken derzeit ab, weil unter ihnen zu viel Grundwasser gefördert wird.
In den Rückmeldungen zu Franzis Folgen über Schwarze Löcher (AG123 und AG124) überwiegt begeistertes Lob: Viele finden die komplexen Inhalte zur Allgemeinen Relativitätstheorie und Quantenphysik hervorragend aufbereitet, manche wünschen sich jedoch mehr Vereinfachung. Es gibt eine physikalische Ergänzung zur Natur von Singularitäten und Franzi erklärt, warum Schwarze Löcher „keine Haare“ haben. Am Rande geht es auch um die Allgemeine Relativitätstheorie und die Frage, durch welche Effekte die hochgenauen Atomuhren auf Satelliten langsamer gehen als jene auf der Erde.
Weitere Rückmeldungen betreffen alte Folgen – etwa Beobachtungen zur Nova in der Nördlichen Krone. Die Prognose aus Folge AG091 über einen Ausbruch im Jahr 2024 ist nicht eingetreten, was vermutlich an allzu schlechten Basisdaten liegt. Somit warten wir alle weiterhin auf den nächsten Ausbruch der Nova T Coronae Borealis.
Zuletzt sprechen Franzi und Karl über andere Geologie-Podcasts. Karl kennt fast nur englischsprachige Produktionen und bittet um Mithilfe.
Weiterhören bei AstroGeo
- Folge 91: Ein neuer Stern – die bevorstehende Nova in der Nördlichen Krone
- Folge 122: Unsichtbare Wasserwelten: Was schlummert unter den Eisschilden?
- Folge 123: Weiße Zwerge – die Rettung vor dem Schwarzen Loch?
- Folge 124: Cygnus X-1: Wie findet man ein Schwarzes Loch?
Weiterführende Links
- WP: Kerr-Metrik
- Podcast: Beats and Bones
- Podcast: Palaeocast
- Podcast: Planet Geo
- Podcast: Geology Bites
- Podcast: Bedrock
Quellen
- MPG: Die große Schmelze (02.01.2024)
- IEA: Erdölproduktion: 80,4 Millionen Barrel pro Tag → 4,6 km³ pro Jahr (2022)
Also, ich finde, dem Hörer, der meinte, dass die GPS-Uhren wegen der speziell-relativistischen Zeitdilatation aufgrund ihrer hohen Geschwindigkeit langsamer gehen müssten als Uhren auf der Erde, weil dieser Effekt viel größer sei als der allgemein-relativistische, hättet ihr in der Sendung schon klar sagen können, dass er um hundert Prozent falsch liegt. Der „allgemein relativistische“ Effekt, der besagt, dass Uhren auf hohem Gravitationspotential schneller gehen als auf niedrigem, ist um etliches größer als der „speziell relativistische“. (Die man übrigens beide in einer allgemein relativistischen Rechnung erhält.)
Natürlich ist mir klar, dass ihr hinsichtlich der richtigen Antwort nicht sicher wart, weil ihr die Relativitätstheorie nicht genügend gut kennt oder dieses spezielle Problem nic durchgerechnet habt. Aber gebt mal bei ChatGPT den prompt
„Gehen die Satellitenuhren des GPS schneller oder langsamer als Uhren auf der Erde?“
ein, dann erhaltet ihr eine ziemlich ausführliche Antwort, die an Klarheit nichts vermissen lässt.
Einen Fehler enthält die Antwort, die ich auf diesen Versuch hin bekommen habe, sie sagt nämlich, dass nach der allgemeinen Relativitätstheorie Uhren in schwächeren Gravitationsfeldern schneller gehen. Mit der Stärke des Gravitationsfeldes hat das aber nichts zu tun. Die beeinflusst die Ganggeschwindigkeit einer Uhr nicht. Man kann immer nur zwei Uhren an verschiedenen Stellen in einem Gravitationsfeld vergleichen und die Aussage ist dann, dass die Uhr auf höherem Gravitationspotential schneller geht. Höheres Gravitationspotential fällt in der Regel mit schwächerem Gravitationsfeld zusammen (allerdings nicht immer: zum Beispiel ist die Gravitation in einem hinreichend tiefen Loch in der Erde geringer als an der Oberfläche – im Erdmittelpunkt wäre sie sogar null; trotzdem geht eine Uhr dort unten langsamer als an der Erdoberfläche, denn das Gravitationspotential ist niedriger). Für den Unterschied in der Ganggeschwindigkeit der Uhren ist die Differenz im Gravitationspotential relevant (also das Wegintegral über die Feldstärke), es spielt also der Abstand der Uhren und der gesamte Verlauf des Gravitationsfelds zwischen ihnen eine Rolle.
Für die Antwort auf die GPS-Uhren-Frage spielen diese Feinheiten allerdings nur eine geringe Rolle. Die hätte euch ChatGPT auch noch fünf Minuten vor Aufzeichnung des Podcasts gegeben.
„Schneller gehen“ bezieht sich übrigens auf sogenannte Standard-Uhren. Das sind Uhren, die die Eigenzeit messen. (Es ist also die Zeit selbst, die schneller geht, die Uhren zeigen das nur an.) Tatsächlich sind die Frequenzausgaben der Atomuhren an Bord der Satelliten so verstimmt, dass sie langsamer als Standard-Uhren gehen und zwar gerade um soviel, dass sie synchron mit Uhren auf der Erde bleiben, die sich auf einer bestimmten Potentialfläche des Erdgravitationsfelds befinden (Meereshöhe?).
@ Klaus Kassner am 27. Oktober 2025 und @alle:
Bezüglich des Textes von Klaus Gassner bin ich nicht wenig verwirrt.
Geht es anderen auch so? (-:
Es gibt einen Klaus Kassner, der emeritierter Professor für Theoretische Physik ist. Wenn es sich um den handelt, dann hat er natürlich eine etwas andere Perspektive auf diese Dinge als wir Normalhörer.
Ich habe aber noch einen Link gefunden mit einer – wie ich finde – relativ allgemeinverständlichen quantitativen Näherungsrechnung zu den relativistischen Effekten bei GPS:
https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/rel.html
Was ist denn verwirrend? Vielleicht kann ich es ja erklären?
Das Faktum, dass bei den GPS-Satelitten der allgemeinrelativistische Effekt („Uhren auf höherem Gravitationspotential laufen schneller“) mit 45 μs/Tag stärker ist als der speziell relativistische („bewegte Uhren laufen langsamer“) mit 7 μs/Tag? Der Gesamteffekt wäre also, dass GPS-Uhren 38 μs/Tag vorgehen würden, wenn man ihre Frequenz nicht künstlich gerade um so viel verlangsamen würde (per Verstimmung eines Schwingquarzes), dass sie synchron zu Erduhren laufen.
Oder ist es die Aussage, dass die Stärke des Gravitationsfeldes keine Rolle für die Ganggeschwindigkeit spielt? Das ist experimentell sehr gut überprüft. Myonen, die sich in einem Speicherring mit fast Lichtgeschwindigkeit bewegen, haben eine längere Lebensdauer als langsame Myonen, aber eine genauso lange Lebensdauer wie Myonen, die sich mit gleich großer Geschwindigkeit bewegen. Im Speicherring laufen die Myonen im Kreis und erfahren eine Zentrifugalkraft, die einem Gravitationsfeld von 10 hoch 18 g entspricht. Trotzdem altern sie genauso schnell wie sich geradlinig mit der gleichen Geschwindigkeit bewegende Myonen, die gar kein Gravitationsfeld verspüren…
Eine Uhr auf der Erde geht langsamer als eine Uhr auf der ISS, nicht weil das Gravitationsfeld auf der Erde höher ist, sondern weil die Uhr auf der Erde in einem niedrigeren Gravitationspotential ist. Eine Uhr im Erdmittelpunkt würde noch langsamer gehen, weil dort das Gravitationspotential noch niedriger ist; das Gravitationsfeld ist im Erdmittelpunkt aber null, also schwächer als auf der Erdoberfläche (weil die Anziehungskraft der Erdmasse in alle Richtungen sich aufhebt). Also haben wir im Erdmittelpunkt ein schwächeres Gravitationsfeld als auf der Erdoberfläche, aber keine schneller gehende Uhr…. Auf der ISS haben wir ebenfalls ein schwächeres Gravitationsfeld und eine schneller gehende Uhr.
Klaus Kassner schrieb (3. November 2025):
> […] Myonen, die sich in einem Speicherring mit fast Lichtgeschwindigkeit bewegen, haben eine längere Lebensdauer als langsame Myonen, […]
Messungen der mittleren Lebensdauern von gegebenen Myonen-Ensembles sind sowohl aus Daten von (Speicher- und) Detektor-Systemen ermittelt worden, gegenüber denen sich die betreffenden Myonen in den ausgewertenen Versuchen schnell bewegten (β > 0.999; nämlich insbesondere in sogenannten „g – 2“-Experimenten), als auch aus Daten von Versuchen, in denen sich die betreffenden Myonen und Detektoren höchstens nur vergleichsweise langsam bewegten (β < 0.001; Stichwort: „Muon stopping“).
Die erhaltenen Messwerte (einschl. Unsicherheiten)
vgl. https://indico.ihep.ac.cn/event/16065/contributions/114869/attachments/62151/71706/poster_zejialu.pdf
unterscheiden sich offenbar um weniger als 1 Promille;
und sind konsistent mit dem aktuellen (PDG-) Wert
(2.1969811 +/- 0.0000022) 10^{-6} s.Die Lebensdauer eines bestimmten Myons ist dabei selbstverständlich jeweils sorgfältig insbesondere von der entsprechenden Beherbergungsdauer des Speicherrings für dieses Myon zu unterscheiden.
p.s.
Weiteres siehe bitte z.B. im Kommentar „#comment-17221, 7. November 2025“ unten.
Was ich zur Lebensdauer von Myonen geschrieben habe, ist schon richtig. Es ist ja offensichtlich, dass es hier um den Vergleich der Lebensdauern in zwei verschiedenen Bezugssystemen geht, einmal im Laborsystem, wo sie wegen der Zeitdilatation vergrößert ist und zum anderen im mitbewegten Bezugssystem der Myonen, wo sie immer die natürliche Lebensdauer von ungefähr 2,2 μs haben. Der Begriff der Beherbergungsdauer, den Herr Wappler hier einführt, ist insofern irrelevant. Verglichen wird die Lebensdauer von Myonen im Speicherring mit der von Myonen in Ruhe.
Darüber hinaus ist es Unsinn, von der Lebensdauer eines bestimmten Myons zu reden. Das ist keine wohldefinierte Größe. Mit Lebensdauer ist hier im informellen Alltagssprachgebrauch der Physiker (ich bin einer!) die *mittlere Lebensdauer* gemeint. Myonen zerfallen nach ihrer Entstehung zufällig. Sie sind instabile Teilchen. Manche zerfallen nach einer Mikrosekunde, andere nach 10 Mikrosekunden, wobei die Anzahlverteilung als Funktion der Zeit exponentiell abfällt. Die mittlere Lebensdauer ist 2,2 Mikrosekunden. Die konkrete Lebensdauer eines bestimmten Myons ist nicht vorhersagbar. Sie kann 0,1 Mikrosekunden betragen oder 10 Mikrosekunden (beides seltene Fälle, 1 Mikrosekunde oder 3 Mikrosekunden sind viel häufiger).
Im übrigen verweise ich hinsichtlich meiner – korrekten – Behauptung, dass Zeitdilatation unabhängig von der Beschleunigung ist, auf das Originalpaper, das diese Tatsache experimentell überprüft; J. Bailey et al., Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit, Nature 268, 301 (1977). Dort wird übrigens — in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung — öfters von lifetime gesprochen, ohne explizit zu erwähnen, dass es um eine mittlere Lebensdauer geht. (Die Autoren setzen voraus, dass die Leser vom Fach sind und das wissen.)
Klaus Kassner schrieb (14. November 2025):
> […] Myonen zerfallen nach ihrer Entstehung zufällig. Sie sind instabile Teilchen. Manche zerfallen nach einer Mikrosekunde, andere nach 10 Mikrosekunden, wobei die Anzahlverteilung als Funktion der Zeit exponentiell abfällt. […]
Die konkrete Lebensdauer eines bestimmten Myons ist nicht vorhersagbar. Sie kann 0,1 Mikrosekunden betragen oder 10 Mikrosekunden (beides seltene Fälle, 1 Mikrosekunde oder 3 Mikrosekunden sind viel häufiger).
Alles ganz recht.
(Ein Urteil, übrigens, zu dem ich als studierter Experimentalphysiker, Ph.D. 2000, komme.)
Worin sich insbesondere zeigt, dass die jeweilige konkrete Lebensdauer eines bestimmten Myons sehr wohl eine konkret einzeln messbare (und i.d.R. tatsächlich einzeln konkret gemessene) und insofern definierte Größe ist; und nicht etwa, wie im zitierten Kommentar insinuiert, „Unsinn“.
> Verglichen wird die [mittlere] Lebensdauer von Myonen im Speicherring mit der von Myonen in Ruhe.
Ganz recht. Um zwei entsprechende Werte ausdrücklich gegenüberzustellen:
– die mittlere Lebensdauer von (positiven) Myonen im FNAL-Speicherring
(„g – 2“-Experiment, Run-1):
(2.19755 +/- 0.00018) 10^{-6} s; und– die mittlere Lebensdauer von (positiven) Myonen, die am PSI (von der πE3-Beamline kommend) innerhalb eines „(im Labor) fixierten“ Targets jeweils hinreichend gestoppt wurden und darin zerfielen („MuLan“-Experiment, Gesamtergebnis):
(2.1969803 +/- 0.0000022) 10^{-6} s.(Vgl. die oben schon verlinkte „g – 2, Run-1“-Präsentation
https://indico.ihep.ac.cn/event/16065/contributions/114869/attachments/62151/71706/poster_zejialu.pdf
bzw. den „detaillierte MuLan-Report“: https://arxiv.org/abs/1211.0960 )
> […] Was ich zur Lebensdauer von Myonen geschrieben habe, ist schon richtig.
Wie ich oben (Frank Wappler, 7. November 2025) zitiert hatte: …
> > Klaus Kassner schrieb (3. November 2025):
> > > […] Myonen, die sich in einem Speicherring mit fast Lichtgeschwindigkeit bewegen, haben eine längere Lebensdauer als langsame Myonen, […]
… habe dieser Aussage nicht etwa widersprochen (oder auch nur versucht, ihr zu widersprechen), sondern sie (insbesondere) dahingehend ergänzt, dass sich die betreffenden gemessenen Werte
> > […] offenbar um weniger als 1 Promille [unterscheiden] .
> […] Es ist ja offensichtlich, dass es hier um den Vergleich der [mittleren] Lebensdauern in zwei verschiedenen Bezugssystemen geht, einmal im Laborsystem […] und zum anderen im mitbewegten Bezugssystem der Myonen […]
Ja, offensichtlich — wobei allerdings:
– es im gegebenen Zusammenhang zwar üblich und für die in Betracht stehenden Messungen adäquat ist, durchwegs von „dem (einen bestimmten)“ Labor(-Inertial-)system zu sprechen (in dem u.a. Detektor-Komponenten und insbesondere die Magnete des Speicherrings ruhten, bzw. die jeweilige Target-Vorrichtung ruhte),
– die Myonen jeweils eines Myonen-Bunches beim „g – 2“-Experiment ständig andere „momentan mitbewegte Inertialsysteme“ aufwiesen; und i.A. sogar jeweils Myon für Myon verschiedene „momentan mitbewegte Inertialsysteme“.
An (lediglich) „ein (bestimmtes) mitbewegtes Bezugssystem der Myonen“ denken zu wollen, wäre hinsichtlich des konkreten „g – 2“-FNAL-Speicherring-Experiments also stark untertrieben bzw. ungenau.
Wir könnten uns aber Sinn-voll und Zweck-dienlich mit Myonen(-Bunches) in einem Linear-Beschleuniger beschäftigen, und dahingehend untersuchen:
> […] im mitbewegten Bezugssystem der Myonen, wo sie immer die natürliche [mittlere] Lebensdauer von ungefähr 2,2 μs haben.
Natürlich.
(Wir denken beim Wert von ungefähr 2,2 μs selbstverständlich an „übliche, irdische“ Bedingungen bzw. Experimente; und nicht etwa an „astro-physikalische Ausnahmesituationen“ mit z.B. „enormen“ Myon(-Fluss-)Dichten, Neutrino(-Fluss-)Dichten, Temperaturen, …)
> […] im Laborsystem, wo sie wegen der Zeitdilatation vergrößert ist
Nein!
Einerseits ist der Messwert der mittleren Lebensdauer von Myonen in Stopp-Experimenten (insbesondere MuLan, s.o.) ganz ausdrücklich ungefähr 2,2 μs, also keineswegs „vergrößert“; und
andererseits ist es improper, und ein Bärendienst in der Darstellung von Zeitdilatation, die konkrete, jeweils auf ein einzelnes bestimmtes Myon bezogene Beherbergungsdauer des Labors mit der entsprechenden Lebensdauer dieses Myons zu verwechseln!
(Zeitdilatation besteht in diesem Zusammenhang schlicht und ausdrücklich darin, dass diese beiden unterscheidbaren Dauern i.A. ungleich sein können; und beim „g – 2“-Experiment tatsächlich und mit großen Verhältnisfaktoren (
γ ≈ 29.3, Stichwort: „magic momentum“) ungleich gefunden wurden.)p.s.
> […] hinsichtlich meiner – korrekten – Behauptung, dass Zeitdilatation unabhängig von der Beschleunigung ist […]
… darf man auf die Auswertung der ACES-Resultate gespannt sein.
Oder: vielleicht bauen und betreiben „die Chinesen“ mal ein geeignet super-genaues „g – 2“-Nachfolger-Experiment auf der Qinghai-Tibet-Hochebene …
https://scilogs.spektrum.de/astrogeo/astrogeoplaenkel-gletscherflut-geoengineering-und-singularitaeten/#comment-8801
Frank Wappler schrieb (30. Oktober 2025):
> https://scilogs.spektrum.de/astrogeo/astrogeoplaenkel-gletscherflut-geoengineering-und-singularitaeten/#comment-8801
Wie ich (erst) gestern bemerkt habe, hat Klaus Kassner draufhin (03.11.2025, 11:02 Uhr) kommentiert:
https://scilogs.spektrum.de/astrogeo/astrogeoplaenkel-gletscherflut-geoengineering-und-singularitaeten/#comment-8848
Mein entsprechender Erwiderungs-Kommentar, den ich (nach Ansicht einer bedauerlicher Weise schlecht-lesbar formatierten Version) in entsprechend finalisiertem Format noch gestern (06.11.2025, 17:35 Uhr) eingereicht hatte, erscheint im betreffenden SciLog leider immer noch nur in der ersten, vorläufigen, schlecht formatierten Version (06.11.2025, 17:31 Uhr).
Da ich somit in dieser Hinsicht blamiert bin, möchte ich mir im Folgenden erlauben, die genannte finalisierte Version meines Erwiderungs-Kommentar verbatim auch noch in diesem Thread einzureichen. (Das kann — mangels Dokumentation — ja nur schiefgehen! &)
Das war mein Fehler, weil ich die Doppeleingabe nicht verstanden hatte. Alle Kommentare im Scilogs-Blog werden von mir per Hand autorisiert. Ich habe die neuere Fassung jetzt aktiviert.
Wenn so etwas nochmal passiert, gerne eine kurze Mail an karl [at] astrogeo [dot] de schicken.
Klaus Kassner schrieb (03.11.2025, 11:02 Uhr):
> […] Atomuhren […] für einen atomaren Übergang durch immer dieselbe Frequenz gekennzeichnet.
Das trifft (bekanntlich in so fern zu, als der betreffende atomare Übergang bzw. die betreffende Atomuhr jeweils »unperturbed« gewesen und geblieben wäre.
(Vgl. übrigens mit den PDG-gelisteten Zerfalls-Raten instabiler Teilchen.)
Um zu entscheiden, ob eine gegebene Atomuhr in betrachteten Versuchen geeignet »unperturbed« gewesen wäre, oder nicht, ist es also hinreichend zu messen, ob sie die betreffenden atomaren Übergänge mit konstanter Frequenz angezeigt hatte, oder nicht; also, ob die Dauer jedes Verlaufes einer bestimmten (geeignet großen) Anzahl von aufeinanderfolgenden Übergängen dieser Uhr jeweils gleich war und blieb, oder nicht. Insbesondere
– betrachte, unterscheide und zähle man jeweils eine hinreichende, endliche Anzahl von (diskreten) aufeinanderfolgenden Tick-Anzeigen der Uhr,
symbolisch als geordnete Menge:
{ A_1, A_2, ..., A_j },j > 2,und eine direkt daran anschließende geordnete Menge:
{ A_(j + 1), A_(j + 2), ..., A_(j + k) },k > 2.– bestimme man das (zwangsläufig reell-wertige) Verhältnis
der Dauer der Uhr, von deren erste gezählter Anzeige (der ersten Zählung) bis zu deren letzter gezählter Anzeige der erstens Zählung,
zur Dauer der Uhr, von deren erste gezählter Anzeige der zweiten Zählung bis zu deren letzter gezählter Anzeige (der zweiten Zählung),
also den Wert
(τ_A[ _1, _j ] / τ_A[ _(j + 1), _(j + k) ])(konkret insbesondere als Verhältnis-Wert der Bogenlängen der beiden Abschnitte Zeit-artiger Weltlinien, die von der Uhr in deren Verlauf der ersten bzw. der zweiten Zählung erlebt wurde),
– und falls für alle in Frage kommenden Werte
jundk(zumindest in „guter“, noch genauer festzulegender Näherung) gefunden wurde, dass(j - 1) = (k - 1) * (τ_A[ _1, _j ] / τ_A[ _(j + 1), _(j + k) ]),dann sagt man, dass diese Uhr in ihrem Verlauf all ihrer gezählten Anzeigen diese mit konstanter Frequenz angezeigt hatte.
(Und in Ermanglung anderer Definitionen, bzw. Mess-Methoden zur Feststellung, von »unperturbedness«, ist die o.g. Mess-Methode nicht nur hinreichend, sondern offenbar auch notwendig, und somit definitiv.)
Beschränken wir uns im Folgenden also auf die Betrachtung von (Atom-)Uhren, die jeweils so gemessene, durchgehend konstante Frequenz (alias „Takt-Rate“) aufwiesen.
(Bei É. Gourgoulhon heißt jede derartige Uhr übrigens »ideal clock«; bei anderen Autoren offenbar (auch) »stable clock«.)
> […] (gleich gebaute) […]
Sofern damit gemeint ist, insbesondere eine bestimmte Teilmenge der Menge aller (denkbarer, „tickender“) idealer bzw. stabiler (Atom-)Uhren in Betracht zu ziehen, nämlich solche, deren jeweils durchgehend konstante Frequenz außerdem alle durchwegs (paarweise) einander gleich gemessen wurden — können wir das gern vereinbaren und uns im Folgenden auf eine bestimmte solche Teilmenge von Atom-Uhren beschränken.
(Dabei wäre es selbstverständlich auch völlig egal, ob die betreffenden Uhren womöglich „aus dem selben Regal gepurzelt“ gekommen wären …)
Die entsprechende Mess-Methode erfordert
– Zählungen von aufeinanderfolgenden Tick-Anzeigen beider Uhren, also (o.B.d.A.)
{ A_1, A_2, ..., A_j },j > 2,und
{ B_1, B_2, ..., B_k },k > 2,– sowie das Verhältnis der entsprechenden Dauer der einen Uhr, zur entsprechenden Dauer der anderen Uhr, also den Wert
(τ_A[ _1, _j ] / τ_B[ _1, _k ])(konkret wiederum zu Ermitteln als Verhältnis der Bogenlängen der entsprechenden Weltlinien-Abschnitte der beiden, i.A. separaten Uhren).
Gleichheit der Frequenzen (alias der „Tick-Raten“) bezeichnet den Befund
(j - 1) = (k - 1) * (τ_A[ _1, _j ] / τ_B[ _1, _k ]).> Vergleicht man diese Frequenzen auf die übliche Weise, etwa durch Signalaustausch per Radiosignal (also Licht),
… also die Wahrnehmungs-Anzeigen eines Beobachters („Empfängers“) auf der Erde von Signal-Fronten der (Übergangs-)Tick-Anzeigen einer Satelliten-Uhr (bzw. der entsprechenden Tick-Anzeigen des „Senders“) …
> so stellt der Beobachter auf der Erde fest, dass seine Atomuhr eine niedrigere Frequenz hat als die des Satellitenbeobachters.
Das wäre ein direkter Verstoß gegen Vereinbarung, die ich oben gerade vorzuschlagen versuchte.
Außerdem … charakterisiert den Empfänger bestimmter Signal-Anzeigen (eines bestimmten Senders) nicht ausschließlich die Frequenz „seiner Empfänger-Atomuhr“ (sofern überhaupt vorhanden) sondern ggf. auch (und wohl vorrangig, sogar „üblicher Weise“) seine Empfangs-Frequenz für sein (ggf. resonantes) Wahrnehmen/Empfangen der Signal-Anzeigen.
Die gezeigte Methodik ist offensichtlich adaptierbar, um
1. zu messen, ob der Empfänger seine betreffenden Wahrnehmungs/Empfangs-Anzeigen überhaupt mit bestimmter konstanter Empfangs-Frequenz angezeigt hätte, oder in wie fern nicht; und falls so:
2. das Verhältnis dieser Empfangs-Frequenz des Empfängers zu (Tick- bzw. Sende-)Frequenz des betreffenden Senders zu messen. Ausdrücklich:
– der Empfänger betrachte, unterscheide und zähle jeweils eine hinreichende, endliche Anzahl von (diskreten) aufeinanderfolgenden Tick-Anzeigen der Sender-Uhr,
symbolisch als geordnete Menge:
{ B_sah_A_1, B_sah_A_2, ..., B_sah_A_j },j > 2,und der Sender konnte seine entsprechenden Tick-Anzeigen zwangsläufig selbst zählen:
{ A_1, A_2, ..., A_j },j > 2.Das Verhältnis der entsprechenden Dauer (der Zählungs-Verlaufes) des Senders zu der des Empfängers,
also der Wert
(τ_A[ _1, _j ] / τ_B[ _sah_A_1, _sah_A_j ])ist (wie üblich) als Verhältnis der Bogenlängen der betreffenden zwei Weltlinien-Abschnitte zu ermitteln; und ist i.A. ungleich
1(aus diesem Grund die „technische Verstimmung“ der GPS-Sender).Sofern (gemessen wurde, dass) der Sender die Signal-Anzeigen mit bestimmter konstanter Empfangs-Frequenz angezeigt hatte, und der Empfänger die entsprechenden Empfangs-Anzeigen mit bestimmter konstanter Empfangs-Frequenz angezeigt hatte,
symbolisch
f_Abzw.f_B_rec[ A ],ergibt sich somit das Verhältnis dieser zwei (miteinander zusammenhängenden, aber sorgfältig zu unterscheidenden) Frequenzen:
(f_B_rec[ A ] / f_A) := (τ_A[ _1, _j ] / τ_B[ _sah_A_1, _sah_A_j ])(für alle in Frage kommenden Werte
j).> […] wenig Sinn, mit MHz-Zahlen zu argumentieren
Dem kann ich zustimmen: „Einheiten sind für Ingenieure, und für Kaufleute“.
Demnach der obige Physik-gerechte rigorose Bezug auf reelle Verhältnis-Werte.
> […] die durch Fernbeobachtung auf der Erde gemessene Frequenz der [Satelliten-]Uhr ist eine andere als die vor Ort.
Das verwechselt wohl die Messung der (Sende-)Frequenz der Satelliten-Uhr
mit der Messung der Empfangs-Frequenz des Empfängers von Satelliten-Sender-Signalen.
Und unter „Messung einer bestimmten, nachvollziehbar definierten Größe“
verstehen wir doch (üblicher Weise) die Ermittlung genau eines bestimmten Wertes genau dieser Größe, und keiner anderen.
> […] immer berücksichtigen, wo die Frequenz den betrachteten Wert hat.
Nicht zu vernachlässigen ist jedenfalls, um wessen Frequenz es jeweils geht (insbesondere: die Frequenz eines Senders, oder die Frequenz eines Empfängers des Senders).
> Eine GPS-Uhr läuft von der Erde aus gesehen mit genau der gleichen Taktfrequenz wie die (gleich gebaute) Erduhr und ist deswegen synchron mit ihr.
Synchroner Empfang „von der Erde aus gesehen“ ist längst keine Aussage zur gemessenen Gleichheit (oder gemessener Ungleichheit) der Sende-Frequenz der GPS-Uhr (und selbstverständlich: im normalen Orbit) zu irgendeiner Handels-üblichen internen Frequenz eines GPS-Empfängers.
Ohne Vergleich der Bogenlängen der betreffenden Weltlinien-Abschnitte gibt’s jedenfalls keinerlei Abschätzung von systematischen Unsicherheiten.
Egal welche reell-wertigen „Frequenz-Verhältnisse“ irgendwie „gesehen“ würden, anstatt wie beschrieben zu messen.
> Vor Ort (auf dem Satelliten) läuft sie aber mit einer niedrigeren Frequenz, denn sie wurde ja verstimmt.
Auch auf die Gefahr hin, eine rasche direkte Antwort zu erhalten, ist da zu fragen:
Soll die Empfangs-Frequenz eines GPS-Signal-Empfängers (am Boden) etwa
„die (verstimmte) GPS-Sende-Frequenz am Boden“ genannt werden ??
Nein! — Das wäre eine Fehl-Zuweisung (improper!) und un-didaktisch.
(Ob es trotzdem sogar nach ACES für üblich gehalten würde, bleibt abzuwarten.)
Auch hier ist meine ursprüngliche Darstellung richtig. Und ich verwechsle auch nichts.
Die Aussage ist ganz einfach. Die Ganggeschwindigkeit der Uhrenanzeige auf den GPS-Satelliten wird durch ein Element mit einer internen Frequenz geregelt. Das ist nicht die Frequenz des Atomübergangs direkt, sondern da gibt es noch technische Umsetzungsvorgänge. Am Ende ist, glaube ich, ein Schwingquarz beteiligt, aber welche Art von Frequenzstabilisator benötigt wird, ist für die Diskussion nicht wichtig. Der entscheidende Punkt ist, dass Atomuhren derselben Bauart wie auf den GPS-Satelliten auf der Erde eine bestimmte Frequenz dieses Bauelements haben, während es auf den Satelliten künstlich verstimmt ist, so dass seine Frequenz auf dem Satelliten niedriger ist. Die Uhr misst auf dem Satelliten also nicht mehr dessen Eigenzeit, sondern läuft langsamer. Und zwar gerade soviel langsamer, dass sie dadurch wieder genauso schnell läuft, wie eine unverstimmte Uhr auf der Erde.
Ein Beobachter auf der Erde, der die Schwingungsfrequenz des betreffenden Bauelements messen könnte (z. B. durch optische Beobachtung, wenn man sie vor Ort irgendwie sichtbar macht — man könnte ein Oszilloskop an Bord des Satelliten nehmen, das die Schwingungsfrequenz aufzeichnet und eine Kamera könnte das Signal auf die Erde übertragen), würde (nach Korrektur von Signallaufzeiteffekten) finden, dass sie *nicht* erniedrigt ist, sondern genau gleich groß ist wie die Frequenz des entsprechenden unverstimmten Bauteils auf der Erde. Das ist äquivalent zur Feststellung, dass die Satellitenuhr synchron zu der Uhr auf der Erde geht. (Die dort aber tatsächlich die Eigenzeit misst.)
Was Herr Wappler hier nicht zu verstehen scheint, ist, dass *derselbe* Schwingungsvorgang *unterschiedliche* Frequenzen auf der Erde und auf dem Satelliten haben kann. (Die Frequenz auf dem Satelliten ist niedriger.)
Vielleicht werde ich noch einen anderen Kommentar schreiben, in dem ich Herrn Wapplers etwas eingeengtes Verständnis der Bedeutung von Zeitdilatation zurecht rücke. Es geht in den meisten Fällen dabei nicht um den Vergleich der Bogenlängen von Weltlinien zwischen wohldefinierten Ereignissen. Das ist beim Zwillingsparadoxon so, nicht aber bei der gewöhnlichen speziell relativistischen Zeitdilatation. Die hängt entscheidend von der gewählten Synchronisationsvorschrift für die Zeit an verschiedenen Orten ab. Denn erst die bestimmt, welche Ereignisse die Endpunkte der zu vergleichenden Weltlinienabschnitte sind.
Klaus Kassner schrieb (14. November 2025):
> […] eine bestimmte Frequenz dieses Bauelements haben, während es auf den Satelliten künstlich verstimmt ist, so dass seine Frequenz auf dem Satelliten niedriger ist.
… niedriger als die Frequenz des unverstimmten Bauelements, im Satelliten; und zwar niedriger um den Faktor
10,229999995453 / 10,23…So weit, so gut. (Unverändert seit meinem ersten Kommentar hier, 30. Oktober 2025.)
> Und zwar gerade soviel langsamer, dass sie dadurch wieder genauso schnell läuft, wie eine unverstimmte Uhr auf der Erde.
Nochmals: Nein! — sondern gerade soviel langsamer, dass die entsprechende Empfangsfrequenz eines/des GPS-Empfängers auf der Erde gleich der Frequenz des unverstimmten Bauelements ist (alias „synchron läuft“, und zwar ausdrücklich „synchron mit Frequenz des unverstimmten Bauelements“, im GPS-Empfänger).
> Ein Beobachter auf der Erde, der die Schwingungsfrequenz des betreffenden Bauelements messen könnte (z. B. durch optische Beobachtung, wenn man sie vor Ort irgendwie sichtbar macht — man könnte ein Oszilloskop an Bord des Satelliten nehmen, das die Schwingungsfrequenz aufzeichnet und eine Kamera könnte das Signal auf die Erde übertragen),
… Einzelheiten solcher Messungen, in Auswertung u.a. von Tick-Anzahlen des Senders und entsprechenden Tick-Anzahlen eines Empfängers habe ich ja bereits oben (7. November 2025) dargelegt …
> würde (nach Korrektur von Signallaufzeiteffekten) finden, dass […]
Derartige „Korrektur“ weist offenbar auf irgendeine andere Mess-Methodik hin, als die ich beschrieben hatte.
> Was Herr Wappler hier nicht zu verstehen scheint, ist, dass *derselbe* Schwingungsvorgang *unterschiedliche* Frequenzen auf der Erde und auf dem Satelliten haben kann. (Die Frequenz auf dem Satelliten ist niedriger.)
Um (zum Zwecke unserer Debatte) konkret selbst eine Aussage zu formulieren, der ich widersprechen möchte, nämlich:
… dass von einem „unverstimmten Bauelement“ im Satelliten und einem „unverstimmten Bauelement“ im GPS-Empfänger auf der Erde sowohl zu sagen (sogar zu fordern) ist, dass beide mit gleicher Frequenz schwingen, als auch, dass beide mit ungleichen Frequenzen schwingen.
Und sofern Herr Prof. Kassner diese Aussage eben stattdessen (insbesondere auch gegenüber Studenten) für vertretbar und zumutbar hält, wäre damit jedenfalls Sach-dienlich zugespitzt und dokumentiert, worin wir beide (zum gegenwärtigen Stand unserer Debatte) einander widersprechen.
Die Betrachtung weiterer methodischer Einzelheiten, könnte nun den Widerspruch weiter zuspitzen, und meinetwegen auch gerne aufklärend „zurecht rücken“:
> […] Zeitdilatation […]
> Es geht in den meisten Fällen dabei nicht um den Vergleich der Bogenlängen von Weltlinien zwischen wohldefinierten Ereignissen. Das ist [zwar] beim Zwillingsparadoxon so
Es geht also zumindest beim (Darstellen und Erklären des) Zwillingsparadoxon(s) um den Vergleich der (endlichen) Bogenlängen von bestimmten (Zeit-artigen) Weltlinien-Segmenten zwischen zwischen wohldefinierten Ereignissen.
Im üblichen Zwillingsparadoxon-Szenario haben beide zu vergleichende Weltlinien-Segmente sogar das selbe Anfangs-Ereignis („der Aufbruch, voneinander weg“) und auch das selbe Schluss-Ereignis („das Wieder-Zusammentreffen“).
> […] welche Ereignisse die Endpunkte der zu vergleichenden Weltlinienabschnitte sind.
Ja, diese müssen selbstverständlich festgesetzt sein, um eindeutige Vergleiche zu erhalten. Man beachte dahingehend meine häufig (insbesondere 7. November 2025) gebrauchte Formulierung:
„Vergleich der (endlichen) Bogenlängen von bestimmten (Zeit-artigen) Weltlinien-Segmenten, jeweils von … bis …„.
> nicht aber bei der gewöhnlichen speziell relativistischen Zeitdilatation.
Ich gebe zu (und habe in keiner Weise bestritten), dass es natürlich einer bestimmten festzusetzenden operativen Mess-Methodik bedarf, wie die (endlichen) Bogenlängen von bestimmten (Zeit-artigen) Weltlinien-Segmenten, jeweils von … bis …, überhaupt miteinander zu vergleichen sind; in anderen kürzeren Worten: wie bestimmte Dauern überhaupt miteinander zu vergleichen sind.
Im einfachen Falle der SRT (alias „im Flachen“) also, wie der dabei bekannte „Faktor
√{ 1- β^2 }“ überhaupt als relevanter Verhältniswert herzuleiten ist.> Die hängt entscheidend von der gewählten Synchronisationsvorschrift für die Zeit an verschiedenen Orten ab.
Von „Synchronisation“ usw. ist in der mir vertrauten, Koordinaten-freien Herleitung zwar gar keine Rede;
aber (immerhin!, und wiederholt) vom Einstein(-Comstock)-schen Begriff der „Gleichzeitigkeit“, einschl. der damit verbundenen operativen Mess-Methodik (Koinzidenz-Bestimmung durch einen Beobachter „in der Mitte zwischen“ zwei voneinander getrennten, gegenüber einander ruhenden „Enden“).
> Denn erst die
… wenn auch nicht ausdrücklich „die Synchronisationsvorschrift“, dann doch die (Methodik zur) Gleichzeitigkeits-Feststellung …
> bestimmt, welche Ereignisse die Endpunkte der zu vergleichenden Weltlinienabschnitte sind.
Unbestritten, hinsichtlich der einfachen Fälle bzw. der o.g. Herleitung.
Allgemeinere Vergleiche setzen die relevanten „Endpunkt“-Ereignisse der zu vergleichenden Weltlinien-Segmente z.B. durch jeweils ein (gegenseitiges) „Ping“ fest; oder hinsichtlich ACES sicherlich auch:
„von einem Überflug, biszum darauffolgenden Überflug“.
Ganz anderes Thema als die angeregte Diskussion hier: Vielen Dank für den „Bedrock“-Podcast-Tipp! Ich bin gerade bei Folge 43. Zwischendurch sind mir die Analogien etwas zu blumig bzw. Dinge zu oberflächlich erklärt, aber insgesamt schafft dieser Podcast es, viel Stoff pädagogisch geschickt an ein breites Publikum zu bringen. Unterhaltsam erzählt und sehr gut aufgebaut, sowohl die einzelnen Folgen als auch das „große Ganze“!
Ich schrieb:
> Und zwar gerade soviel langsamer, dass sie dadurch wieder genauso schnell läuft, wie eine unverstimmte Uhr auf der Erde.
Herrn Wapplers Antwort:
„Nochmals: Nein! — sondern gerade soviel langsamer, dass die entsprechende Empfangsfrequenz eines/des GPS-Empfängers auf der Erde gleich der Frequenz des unverstimmten Bauelements ist (alias „synchron läuft“, und zwar ausdrücklich „synchron mit Frequenz des unverstimmten Bauelements“, im GPS-Empfänger). “
Wo ist da bitte schön die Rechtfertigung für das „Nein!“ Das ist doch genau dasselbe. Die verstimmte Frequenz des GPS-Satelliten ist gleich der Frequenz des unverstimmten Bauelements auf der Erde. Das ist Synchronizität. Und das heißt, dass die verstimmte Uhr auf dem Satelliten genauso schnell läuft wie die (unverstimmte) auf der Erde. Da sie aber auf dem Satelliten verstimmt ist, läuft sie langsamer als dort eine unverstimmte Uhr laufen würde, die die Eigenzeit misst. Das ist das, was ich behauptet habe und wenn es dem widerspricht, was Herr Wappler an anderen Stellen sagt, dann hat er eben dort unrecht. Was er hier über Frequenzen sagt, ist nur eine andere Formulierung dessen, was ich über Uhren gesagt habe. Das mit „Nochmals: Nein“ einzuleiten ist jedenfalls nicht logisch. Es ist ungefähr so, wie wenn ich sage, A ist gleich B, und er sagt, nein, B ist gleich A.
Zu einem anderen Punkt:
„Um (zum Zwecke unserer Debatte) konkret selbst eine Aussage zu formulieren, der ich widersprechen möchte, nämlich:
… dass von einem „unverstimmten Bauelement“ im Satelliten und einem „unverstimmten Bauelement“ im GPS-Empfänger auf der Erde sowohl zu sagen (sogar zu fordern) ist, dass beide mit gleicher Frequenz schwingen, als auch, dass beide mit ungleichen Frequenzen schwingen. “
Ganz so habe ich das nicht gesagt, aber völlig falsch wäre es nicht. Es kommt immer darauf an, für *welchen Beobachter* es mit der jeweiligen Frequenz schwingt. Herr Wappler tut so, als wäre die Frequenz eines schwingenden Objekts eine Eigenschaft, die nur dem Objekt zukommt. Das ist aber nicht so. Die Frequenz z.B. eines Photons ist eine gemeinsame Eigenschaft von Photon und Bezugssystem, d.h. sie ist nicht objektiv sondern bezugssystemabhängig. Das ist auch eine Folge der Zeitdilatation…
Ich habe bezüglich der GPS-Empfänger oder der Uhren auf der Erde immer nur von einer Frequenz gesprochen, nämlich der auf der Erde gemessenen Frequenz.
Hinsichtliche der Frequenz der GPS-Satelliten dagegen habe ich von zwei Frequenzen gesprochen, nämlich der Frequenz der Satellitenuhr, die auf der Erde gemessen wird, also von einem Beobachter im Bezugssystem der GPS-Empfänger, und zum anderen von der Frequenz der Satellitenuhr, die an Bord des Satelliten gemessen wird. Die beiden sind es nämlich, die aufgrund der Zeitdilatation unterschiedlich sind.
(Zeitdilatation ist ein kinematischer Effekt, kein dynamischer.)
Die Frequenz der Satellitenuhr an Bord des Satelliten ist kleiner als die Frequenz derselben Uhr von der Erde aus gemessen und letztere ist gleich der Frequenz einer erdpositionierten Uhr, die unverstimmt ist. Die Messmethode mit einem Oszilloskop, die ich beschrieben habe, war ungenau dargestellt. Natürlich darf man nicht mit einem Oszilloskop die Frequenz der Uhr an Bord messen und das als Messergebnis an die Erde schicken, das wäre nur wieder eine Messung an Bord. Es muss eine direkte Fernmessung der Frequenz auf der Erde stattfinden; das Oszilloskop könnte aber verwendet werden, um die Freuqenz des Uhrenquarzes durch einen Sinus auf dem Bildschirm darzustellen und zwar mit einem festen Verlangsamungsfaktor, so dass das Bild die Zeitabhängigkeit der Schwingung darstellt. Das könnte man mit einer (Hochgeschwindigkeits-)Kamera filmen und die Bilder zur Erde übertragen. Dort würde man das Ganze abspielen lassen und eine scheinbare Frequenz im Film messen. Die korrekte *gemessene* Frequenz ergäbe sich aus der Korrektur von Effekten der Übertragungszeit (Dopplereffekt). Es gibt sicher elegantere Methoden. Das entscheidende Charakteristikum einer irdischen Fernmessung der Frequenz eines auf dem Satelliten schwingenden Elements ist: Messung der Anzahl der Schwingungen des Satellitenelements pro Sekunde Erdzeit. Diese Frequenz ist gleich der der Empfänger auf der Erde.
Die Messung auf dem Satelliten ergäbe für *denselben* Schwingungsvorgang die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde Satellitenzeit.
Erdzeit und Satellitenzeit sind Eigenzeiten.
Es ist offensichtlich, dass die Frequenz der Satellitenuhr auf die Satellitenzeit bezogen eine andere ist als die Frequenz der Satellitenuhr auf die Erdzeit bezogen. Und wenn das Raumschiff eines Aliens mit fast Lichtgeschwindigkeit vorbeiflöge, würde es als Frequenz der Satellitenuhr einen dritten, deutlich geringeren Wert feststellen.
Hier noch ein relativistisches Argument für die Bezugssystemabhängigkeit von Frequenzen von Wellen. Was ist die Frequenz einer Welle in der Relativitätstheorie? Nun es ist (bis auf einen Faktor c) die Zeitkomponente des Viererwellenvektors.
Die Komponenten eines Vierervektors hängen aber vom Koordinatensystem ab, in dem sie dargestellt werden. Und das Koordinatensystem ist eine Kodifizierung des Bezugssystems. (In der speziellen Relativitätstheorie kann man die Inertialsysteme mit den betreffenden minkowskischen Koordinatensystemen identifizieren. Eine Möglichkeit, Bezugssysteme zu definieren, ist, sie als Äquivalenzklassen von Koordinatensystemen zu beschreiben.)
Was nun die „koordinatenfreie“ Herleitung der Zeitdilatation angeht, sorry, da bleibt mir wieder keine andere Charakterisierung als „Unsinn“. Synchronisation ist eine Methode, die Eigenzeit eines Beobachters von seiner Weltlinie mathematisch auf den ganzen Raum auszudehnen. Will heißen, eine Zeitkoordinate, die ursprünglich nur lokal definiert ist (Bogenlänge längs einer Kurve, intrinsische Koordinate) auf den ganzen Raum auszudehnen.
Gleichzeitigkeit auf Distanz involviert die Definition einer Zeit*koordinate*, nicht eines physikalischen Objekts. Das heißt, die meisten Beispiele von Zeitdilatation sind Instanzen des Vergleichs verschiedener Intervalle von Zeitkoordinaten. Wie man einen Vergleich von Koordinaten „koordinatenfrei“ herleiten will, das erschließt sich mir nicht.
Die speziell relativistische Zeitdilatation vergleicht die Zeitkoordinaten zweier Inertialsysteme unter Zuhilfenahme der Synchronisationsvorschrift (Einsteinsynchronisation) in einem von ihnen (dem, in dem die Anfangs- und Endzeit des betrachteten Intervalls nicht auf derselben Uhr abgelesen werden können). Eine koordinatenfreie Zeitdilatation kann man sich höchstens für den Fall vorstellen, in dem Anfangs- und Endereignis für beide Beobachter dieselben sind, etwa beim Zwillingsparadoxon. Auch da ist es nicht völlig koordinatenfrei, denn die Eigenzeiten der beiden sind ja auch Koordinaten. Aber es sind eben intrinsische Koordinaten, festgelegt durch die Geometrie selbst. Das heißt, sie haben auch eine physikalische Bedeutung. Das hat die auf den ganzen Raum ausgedehnte Zeit nicht im selben Maße. Sie hat eben nur soviel an physikalischer Bedeutung, wie man Koordinaten zuschreiben kann, sie verhält sich wie eine Eichgröße, die umdefiniert werden kann, ohne dass die Physik sich ändert.
Zur Frage der mittleren Lebensdauer von Myonen in Speicherringen zitiere ich hier mal aus dem Abstract eines der relevanteren Artikel zum Thema (publiziert in Nature, was schon was heißen will):
„The lifetimes of both positive and negative relativistic
(γ = 29.33) muons have been measured in the CERN Muon
Storage Ring with the results τ+= 64.419 (58) μs, τ- = 64.368 (29) μs.
The value for positive muons is in accordance with special
relativity and the measured lifetime at rest: the Einstein
time dilation factor agrees with experiment with a.fractional
error of 2 x 10-3 at 95 % confidence. Assuming special
relativity, the mean proper lifetime for μ- is found to be
τ0 – = 2.1948 ( 10) μs the most accurate value reported to date.“
J. Bailey et al., Measurements of relativistic time dilatation for
positive and negative muons in a circular orbit, Nature Vol. 268, 301 (1977)
Es ist also durchaus so, dass die mittlere Lebensdauer eines Myons im Speicherring aufgrund seiner Geschwindigkeit vergrößert ist. Die von Herrn Wappler für den Speicherring des g-2-Experiments zitierte mittlere Lebensdauer, die den üblichen 2,2 μs entspricht, ist die Ruhlebensdauer oder Eigenlebensdauer. Die gemessene mittlere Lebensdauer ist im von mir zitierten Artikel 64,42 μs für positive (Anti-)Myonen und 64,37 μs für Myonen. Manche Autoren scheuen sich, das auch als mittlere Lebensdauer zu bezeichnen und wählen dann Umschreibungen, wie auch Herr Wappler das in seinem ersten Post gemacht hat (Verweildauer im Ring o.ä.). Dazu besteht aber keine Notwendigkeit. Die Größe hat dieselbe Bedeutung wie die mittlere Lebensdauer im Ruhsystem des Myons, nur ist sie eben in einem anderen Bezugssystem gemessen, in dem das Myon sich sehr schnell bewegt. Deswegen ist sie größer. (Nicht dass das Myon „etwas davon spüren“ würde, seine Zerfallszeit ist für es selbst immer gleich, so wie auch der langsamer alternde Zwilling beim Zwillingsparadoxon keine zusätzliche Lebenszeit dadurch gewinnt, dass er Jahrzehnte unterwegs war und nur wenige Jahre gealtert ist — die für ihn vergangene Zeitspanne, mit der er etwas anfangen konnte, ist ja die kürzere.)
Das Ergebnis des oben zitierten Artikels ist, dass die mittlere Lebensdauer der Myonen im Speicherring um genau den Faktor (rund 29) vergrößert ist, den die spezielle Relativitätstheorie für ihre Geschwindigkeit im Labor vorsieht, dass aber ihre Beschleunigung (wegen der Kreisbahnbewegung) in der Größe von 10 hoch 18 g keinerlei Einfluss auf diese Zeitdilatation hat.
Meine Bemerkung hinsichtlich der nicht definierten individuellen Lebensdauer von Myonen bleibt in dem Kontext, in dem sie gemacht wurde, richtig. In einem wissenschaftlichen Artikel hätte ich diesen Kontext vielleicht genauer formuliert: „definiert“ ist hier gemeint als „quantitativ festgelegt“ (also nicht als Bestimmung der qualitativen Eigenschaften eines Objekts zum Zweck der Abgrenzung von anderen Objekten) und mit der „individuellen Lebensdauer von Myonen“ ist die „individuelle Lebensdauer von existierenden Myonen“ gemeint, also nicht von bereits zerfallenen. Es ist ein banaler Einwand, dass man die Lebensdauer eines Myons, das man von seiner Entstehung bis zu seinem Zerfall beobachtet hat, gemessen und damit quantitativ festgelegt haben kann. (Ob es die eines individuellen Myons war, hängt wegen der quantenmechanischen Ununterscheidbarkeit von Myonen davon ab, ob es in der Beobachtungszeit einem anderen Myon so nahe gekommen ist, dass bei sich fast überkreuzenden Bahnen ein Austausch der beiden hätte stattfinden können.)
Für ein gerade existierendes Myon hingegen kann keine individuelle Lebensdauer quantitativ festgelegt werden, denn seine mittlere Restlebensdauer hängt nicht davon ab, wie lange es schon existiert hat. Seine mittlere Lebensdauer nach Entstehung ist in seinem Ruhsystem 2,2 μs. Wenn man es eine μs lang beobachtet hat, ist seine weitere mittlere Lebensdauer immer noch 2,2 μs, nicht etwa 1,2 μs. Solange es existiert, beträgt seine Zerfallsrate 1/2,2 μs. Myonen altern nicht. Wenn sie schon eine Weile existieren, ändert das nichts an ihrer Zerfallswahrscheinlichkeit pro nächste Zeiteinheit. Deshalb ist für ein existierendes individuelles Myon nicht definiert, wie lange es noch weiterexistieren wird, obwohl man natürlich ohne weiteres angeben kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit es nach welcher Zeit noch existieren wird. (Und diese Größe hängt in einem Bezugssystem, in dem es sich bewegt, auch von seiner Geschwindigkeit ab.)
Klaus Kassner schrieb (23. November 2025):
> […] Herr Wappler tut so, als wäre die Frequenz eines schwingenden Objekts eine Eigenschaft, die nur dem Objekt zukommt.
Dass die Durchschnitts-Tick-Frequenz eines wiederholt tickenden Objektes (Oszillators), jeweils in einem Versuch mit endlich vielen (mindestens zwei) aufeinanderfolgenden Ticks, eine Eigenschaft des betreffenden Objekts im betreffenden Versuch ist — selbstverständlich;
und zwar (wie oben bereits skizziert) jeweils mit Wert
(Anzahl der aufeinanderfolgenden Ticks - 1) /(Dauer des betreffenden Objekts, vom ersten, bis zum letzten Tick des betreffenden Versuchs).(Ob in verschiedenen Versuchen diesem selben Objekt, oder womöglich verschiedenen Objekten, der gleiche Wert seiner bzw. ihrer jeweiligen Durchschnitts-Tick-Frequenz(en) zukäme, oder in wie fern nicht, kann und müsste ggf. gemessen werden.)
> Das ist aber nicht so.
Käme einem bestimmten wiederholt tickenden Objekt in einem bestimmten Versuch mit einer bestimmten Anzahl (mindestens zwei) aufeinanderfolgender Ticks etwa keine bestimmte, endliche Dauer (bzw. „operativ“: bestimmte Bogenlänge des Abschnitts seiner Weltlinie) vom (Ereignis mit) seinem ersten gezählten Tick , bis zu(m) (Ereignis mit) seinem letzten gezählten Tick zu, Herr Prof. Kassner ?
> Die Frequenz z.B. eines Photons ist eine gemeinsame Eigenschaft von Photon und Bezugssystem, d.h. sie ist nicht objektiv sondern bezugssystemabhängig.
Erstens wirkt es deshalb suggestiv und Irre-führend, lediglich (knapp) von „der Frequenz eines Photons“ zu sprechen;
zweitens taucht der Begriff „Photon“ auf dieser Web-Seite (also in unserer Debatte) erst mit dem aus Kommentar „Klaus Kassner, 23. November 2025“ zitierten Beispiel auf. Bislang ging es hier stattdessen um Atomuhren, (Handels-übliche) Oszillatoren(-Bauteile), (GPS-)Sender bzw. (GPS-)Empfänger mit jeweils Zeit-artigen Weltlinien;
und drittens verweise ich erneut auf É. Gourgoulhons Behandlung von „clocks“, mit »factor K« (aus Gleichung »(2.11)«, auf der vorausgehenden Seite 33), bzw. (in unserem Zusammenhang) dem entsprechenden Kehrwert 1/K, jeweils als messbarer Eigenschaft einer bestimmten »ideal clock«.
> Ich habe bezüglich der GPS-Empfänger oder der Uhren auf der Erde immer nur von einer Frequenz gesprochen, nämlich der auf der Erde gemessenen Frequenz.
> Hinsichtlich der Frequenz der GPS-Satelliten dagegen habe ich von zwei Frequenzen gesprochen, nämlich der Frequenz der Satellitenuhr, die auf der Erde gemessen wird, also von einem Beobachter im Bezugssystem der GPS-Empfänger, und zum anderen von der Frequenz der Satellitenuhr, die an Bord des Satelliten gemessen wird.
Wer mit „Messung der Frequenz“ einer bestimmten (hinreichend idealen alias „stabilen“) Uhr bzw. eines entsprechenden Oszillators etwas anderes meint als die Feststellung des betreffenden Wertes 1/K (insbesondere im reell-wertigen Verhältnis zu 1/K-Werten anderer Uhren bzw. Oszillatoren), ist der Leserschaft von É. Gourgoulhon (mich eingeschlossen) Rechenschaft schuldig; und vor allem sich selbst.
Und es wird ja nicht umsonst zwischen der (Sende-)Frequenz eines bestimmten (GPS-)Senders und der entsprechenden Empfangs-Frequenz eines (GPS-)Empfängers für Signale eines bestimmten (GPS-)Senders unterschieden.
> […] Rechtfertigung für das „Nein!“ Das ist doch genau dasselbe. Die verstimmte Frequenz des GPS-Satelliten ist gleich der Frequenz des unverstimmten Bauelements auf der Erde.
Der Begriff „Bauelement“ wurde von Klaus Kassner (14. November 2025) folgendermaßen eingeführt:
Falls damit womöglich nicht gemeint sein soll, dass der 1/K-Wert aller solchen relevanten („ordentlich funktionierenden“) „Bauelemente“ mit großer Genauigkeit gleich ist, dann ist hier (erneut) Gelegenheit zum Versuch der Klarstellung.
> […] Bezugssystemabhängigkeit von Frequenzen […]
??? Ist »constant K« in Gourgoulhons Gl. (2.11) etwa
„Bezugssystemabhängig“ ?
(Oder etwa diese ganze Gleichung (2.11) insgesamt, oder irgendein weiterer Teil davon ? …)
p.s.
> Gleichzeitigkeit auf Distanz involviert die Definition einer Zeit*koordinate*
A. Einstein (1916/17) kommt an entscheidender Stelle allerdings ganz ohne irgendwelche (Annahmen von) Koordinaten aus — und gilt (bekanntlich) deshalb und seit dem als „gemeinverständlich“, und für Experimental-Physiker brauchbar.
(D. F. Comstock (1910) — auf seine zu Einstein komplementäre Weise — übrigens auch.)
> Die von Herrn Wappler für den Speicherring des g-2-Experiments zitierte mittlere Lebensdauer, die den üblichen 2,2 μs entspricht, ist die Ruhlebensdauer oder Eigenlebensdauer.
Die Bezeichnung „(mittlere) Ruhlebensdauer“ für die mittlere Lebensdauer von Myonen, die für „g – 2“-Experimente in einem Speicherring (von kaum 20 m Durchmesser) gehalten wurden, ist in so fern kontra-faktisch, als diese Myonen dabei ganz erheblich zentripetal beschleunigt waren (ca. 3 * 10^{13} g); während sich die Charakterisierung „ruhend“ als inertiales (geodätisches) Dasein versteht.
Mit der Bezeichnung „Eigenlebensdauer“ anstatt Lebensdauer (z.B. eines bestimmten instabilen Teilchens) wird nahegelegt, dass auch andere, falsch bzw. missverständlich zugeordnete (engl.: improper) Dauern diskutabel, notwendig oder Sinn-voll wären. Es ist dagegen ausreichend und empfehlenswert, stets zu unterscheiden, richtig zuzuordnen und deutlich zu benennen, wessen Dauer jeweils gemeint ist (z.B. „die Lebensdauer eines bestimmten Myons“ in Unterscheidung zur „Beherbergungsdauer des Speicherrings, für ein bestimmtes Myon“).
Zu kleinen Eiszeit siehe https://doi.org/10.1016/j.quascirev.2018.12.004
Ein Astro-Geoplänkel Special zum Aufeinandertreffen von Klaus Kassner und Frank Wappler wäre zwingend 🙂